El álgebra por dentro

La misma operación, con las herramientas de siempre

La operación de un libro sobre procesos resulta ser un XOR de nueve bits. Eso la conecta con tres siglos de matemáticas.

1. Un landa son nueve bits

Cada dimensión es un número de 0 a 3, es decir, dos bits (Ξ = 00, Θ = 01, Φ = 10, Ω = 11). La tabla de V₄ es exactamente el XOR de esos dos bits: 1 ⊕ 2 = 3 porque 01 XOR 10 = 11 [8]. El hemisferio de la envoltura es un bit más (yang = 0, yin = 1).
Un landa son, pues, 1 + 4 × 2 = 9 bits, y hay 2⁹ = 512. Con esa codificación, la operación del libro es a ∗ b = a XOR b XOR reposo: la biblioteca de Kosmacrux la calcula literalmente así, en una línea.

Pruébalo con dos landas

reposo

a ∗ b

hemisferio · Ξ/Θ/Φ/Ω del nivel 1 · nivel 2 · nivel 3 · nivel 4

Columna a columna, a XOR b XOR reposo. La biblioteca da el mismo landa:

coinciden

a y b se diferencian en {n} bits (distancia de Hamming).

El libro define la coordenada de un landa respecto del reposo, c(a) = (t; x₁, x₂, x₃, x₄), con t ∈ {0, 1} el hemisferio y xᵢ ∈ V₄. Las dos reglas de la operación dicen exactamente que c(a ∗ b) = c(a) ⊕ c(b), componente a componente.
Es decir: los 512 landas con ∗ son isomorfos a ℤ₂ × V₄⁴ = (ℤ₂)⁹, con el reposo como elemento neutro. Ese es el grupo abeliano elemental de orden 2⁹ [4]: abeliano, con todo elemento no neutro de orden 2. Sus elementos son los vectores de un espacio vectorial de dimensión 9 sobre el cuerpo de dos elementos [5].
De ahí se heredan todas las propiedades del teorema: la conmutatividad, la asociatividad, el neutro y la involución son las del XOR. La demostración del libro es exactamente esa. El isomorfismo se verifica en «Verifícalo», sobre los 262 144 pares.

La tabla de un grupo finito es un cuadrado latino: cada fila y cada columna es una permutación de sus elementos [6]. Es la propiedad «sin pérdida» del teorema: de a ∗ b y de a se recupera b. Y como el grupo es abeliano, la tabla es simétrica respecto de la diagonal.
No todo cuadrado latino viene de un grupo [7], pero el de los 512 landas sí. La tabla completa tendría 262 144 casillas; la de V₄, que es su ladrillo, tiene 16, y es un cuadrado latino de 4 × 4.

La diferencia entre dos landas es canónica: si el hemisferio cambia y qué intercambio de V₄ hay por nivel. Los movimientos forman el grupo T = ℤ₂ × V₄⁴, de 512 elementos, todos de orden 2. Pero los landas mismos no son ese grupo: son un espacio sobre el que T actúa libre y transitivamente. En matemáticas eso se llama un torsor, o espacio homogéneo principal [10].
Es la misma diferencia que hay entre los puntos y los vectores de un espacio afín: un torsor es el grupo con el neutro olvidado. Para convertir un landa (un estado) en un movimiento (una acción) hace falta elegir un origen. Ese origen es el reposo, y es lo que significa «la nada como referencia».

El XOR de montones de fichas es la suma de nim: la suma en binario sin llevar acarreos [9]. Charles Bouton demostró en 1901 que la estrategia ganadora del juego de Nim es dejar siempre suma de nim cero [17].
Lo que comparten a ∗ b y la suma de nim es esto: dos objetos se combinan sin llevar nada, y combinar un objeto consigo mismo da cero. Es una analogía: Nim no tiene nada que ver con los landas.

El capítulo 6 del libro pone sobre V₄ una forma bilineal canónica ω(u, v) = u₁v₂ ⊕ u₂v₁ (un determinante) y define, para cada landa w, el carácter χ_w(x) = (−1)^⟨w, x⟩, que vale +1 o −1. Cumple χ_w(a ∗ b) = χ_w(a) · χ_w(b), y los 512 caracteres son distintos y ortogonales.
En un grupo abeliano finito las representaciones irreducibles son de grado 1 y son precisamente los caracteres; sobre el grupo booleano (ℤ/2ℤ)ⁿ, la transformada de Fourier es la de Hadamard [12]. Esta es una transformada de Fourier generalizada, equivalente a una transformada discreta multidimensional de tamaño 2 × 2 × … × 2, y su matriz tiene entradas (−1)^(k·n) con el producto punto bit a bit [11].
Por eso «cada landa es también una frecuencia», y el pilotaje se vuelve multiplicación por signos. El libro sigue en esto a Terras [16]. La multiplicatividad, la ortogonalidad y la inversa exacta se verifican en «Verifícalo».

Otra manera de ver los 512 landas: como los vértices de un hipercubo de dimensión 9, el grafo cuyos vértices son las cadenas de 9 bits, adyacentes cuando difieren en un solo bit [13][14]. Componer con un landa fijo m —x ↦ x ∗ m— cambia los mismos bits de todos los vértices, así que conserva las distancias de Hamming: es una traslación del hipercubo.
Cuidado: este hipercubo de 9 bits no es el grafo característico del libro, el de los ocho polos sobre el teseracto. Solo comparten la idea de que la geometría de los bits organiza el sistema.

Los teoremas, con demostración, están en el capítulo 4 y en el 6 del libro. Aquí solo se muestran y se comprueban.