La operación ∗, paso a paso

Capítulo 4 del libro

Treinta radios convergen en el cubo de la rueda; pero es su vacío lo que la hace útil.

Lao Tzu, Tao Te Ching, XI

1. Un landa es un hemisferio y cuatro dimensiones

Un landa Λ(p₁≻p₂≻p₃≻p₄) es una cadena de cuatro polos en la que cada polo es vecino del siguiente. Leer un landa polo a polo esconde una regularidad: cada polo es una dimensión (Ξ, Θ, Φ, Ω) en un hemisferio (yang o yin).
El teorema de estructura del libro dice que un landa queda determinado por el hemisferio del envoltorio y la secuencia de sus cuatro dimensiones, y que toda combinación da un landa. La regla que reconstruye los demás hemisferios es una sola: el hemisferio cambia exactamente cuando la dimensión se repite.
Por eso hay 2 · 4⁴ = 512 landas, y 2 · 4! = 48 hamiltonianos, los que no repiten ninguna dimensión.

Tres landas, desarmados

hemisferio de la envoltura

dimensiones

repite

no repite ninguna dimensión: es hamiltoniano

Numeremos las dimensiones Ξ = 0, Θ = 1, Φ = 2, Ω = 3, y sea ⊕ la operación de la tabla siguiente, la del grupo de Klein V₄ [1][2]. Restar dos dimensiones tiene sentido: d ⊕ d′ es el intercambio que lleva d a d′, y d ⊕ v es el resultado de aplicar el intercambio v a d.
Es la tabla de un grupo en el que todo elemento es su propio inverso [3]. Los tres intercambios no triviales son (ΞΘ)(ΦΩ), (ΞΦ)(ΘΩ) y (ΞΩ)(ΘΦ).
El libro explica por qué cuatro: para restar dimensiones como objeto hace falta un subgrupo regular y normal de las permutaciones de las dimensiones. Existe para 2, 3 y 4 dimensiones (ℤ₂, A₃ y V₄) y no para 5, así que cuatro es el mayor número de dimensiones con esta álgebra canónica. Con cuatro, los subgrupos normales de S₄ son 1, V₄, A₄ y S₄, y el único de orden 4 es V₄, que es regular [15].

La tabla ⊕: d ⊕ d′ = el intercambio que lleva d a d′

Un landa es un estado; un movimiento es un cambio. Para que un landa actúe sobre otro hay que leerlo como movimiento, y eso exige decidir qué landa cuenta como «no moverse». Esa referencia es una convención.
La que adopta el libro es la que Kosmagest describe como ausencia de todo dinamismo: el reposo, o la nada, Λ(·≻=≻·≻=). Inhibición y normalización alternadas —nada circula, nada fluctúa— y las dimensiones Ξ y Θ ausentes: no dice qué hay ni cómo se conecta. Sus dimensiones son (2, 3, 2, 3) y su hemisferio es yin.

En coordenadas la regla es breve. Para dos landas a y b, el landa a ∗ b se obtiene con dos reglas:

Nivel a nivel, d(a ∗ b) = d(a) ⊕ d(b) ⊕ (2, 3, 2, 3).

yang ⊕ yang = yin, yang ⊕ yin = yang, yin ⊕ yin = yin. Los otros tres hemisferios se rederivan con la regla del cambio.

Seis productos, con su derivación

Cada línea la calcula la biblioteca del libro; los resultados coinciden con los del libro impreso.

La nada no cambia nada

El espejo invierte los hemisferios

Un landa consigo mismo da la nada

Dos landas cualesquiera, con una dimensión que se repite

El brote de la inflamación con su resolución da la excitación pura

Dos oscilaciones puras dan una oscilación pura

La definición del libro es simétrica: a ∗ b es a movido por el movimiento que lleva de la nada a b; equivalentemente, b movido por el movimiento que lleva de la nada a a.
Un movimiento se escribe con cinco datos: si el hemisferio cambia y, por cada nivel, un intercambio de V₄.

Un ejemplo, paso a paso

El movimiento que lleva de la nada a b

a movido por ese movimiento

a ∗ b, con la regla de arriba

Son el mismo landa.

sí

El landa Λ(☆≻◇≻☆≻◇) —la nada con el hemisferio invertido— invierte todos los hemisferios de cualquier landa: x ∗ espejo es x con cada polo cambiado por su opuesto dimensional. Sus dimensiones son (2, 3, 2, 3), las de la nada, así que las dimensiones de x no cambian; solo el envoltorio cambia de hemisferio, y como los demás hemisferios se rederivan de las mismas repeticiones, cambian todos.
La nada y la excitación pura son los dos extremos del álgebra: la primera no mueve nada; la segunda voltea todo sin cambiar ninguna dimensión.

Si se toma otro landa e′ como reposo, la nueva operación es a ∗′ b = (a ∗ b) ∗ e′: todos los resultados se desplazan por un landa fijo. Lo estructural no cambia: ∗′ tiene las mismas propiedades, con e′ como neutro. Lo único que cambia es qué landa recibe el nombre de neutro.
El libro usa la nada porque el neutro debe ser lo que no cambia nada. En «Verifícalo» puedes comprobar esto con 50 reposos alternativos.

La nada no cambia nada: Λ(○≻+≻☆≻◇) ∗ Λ(·≻=≻·≻=): (0, 1, 2, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (0, 1, 2, 3) = Ξ, Θ, Φ, Ω ; yang ⊕ yin = yang → Λ(○≻+≻☆≻◇)
El espejo invierte los hemisferios: Λ(○≻+≻☆≻◇) ∗ Λ(☆≻◇≻☆≻◇): (0, 1, 2, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (0, 1, 2, 3) = Ξ, Θ, Φ, Ω ; yang ⊕ yang = yin → Λ(△≻□≻·≻=)
Un landa consigo mismo da la nada: Λ(○≻+≻☆≻◇) ∗ Λ(○≻+≻☆≻◇): (0, 1, 2, 3) ⊕ (0, 1, 2, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (2, 3, 2, 3) = Φ, Ω, Φ, Ω ; yang ⊕ yang = yin → Λ(·≻=≻·≻=)
Dos landas cualesquiera, con una dimensión que se repite: Λ(△≻·≻☆≻◇) ∗ Λ(◇≻+≻○≻◇): (0, 2, 2, 3) ⊕ (3, 1, 0, 3) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (1, 0, 0, 3) = Θ, Ξ, Ξ, Ω ; yin ⊕ yang = yang ; Ξ repite → Λ(+≻○≻△≻=)
El brote de la inflamación con su resolución da la excitación pura: Λ(◇≻☆≻+≻○) ∗ Λ(=≻·≻□≻△): (3, 2, 1, 0) ⊕ (3, 2, 1, 0) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (2, 3, 2, 3) = Φ, Ω, Φ, Ω ; yang ⊕ yin = yang → Λ(☆≻◇≻☆≻◇)
Dos oscilaciones puras dan una oscilación pura: Λ(○≻△≻○≻△) ∗ Λ(+≻□≻+≻□): (0, 0, 0, 0) ⊕ (1, 1, 1, 1) ⊕ (2, 3, 2, 3) = (3, 2, 3, 2) = Ω, Φ, Ω, Φ ; yang ⊕ yang = yin → Λ(=≻·≻=≻·)